Lineare Algebra Beispiele

$x + 4 x - 6 = 0$ , $3 x - y = 7$

Schritt 1

Addiere $x$ und $4 x$ .

$5 x - 6 = 0, 3 x - y = 7$

Schritt 2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 6, 3 x - y = 7$

Schritt 3

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 6 \\ 3 & - 1 & 7 \end{array}]$

Schritt 4

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{0}{5} & \frac{6}{5} \\ 3 & - 1 & 7 \end{array}]$

Schritt 4.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{6}{5} \\ 3 & - 1 & 7 \end{array}]$

Schritt 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{6}{5} \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 \cdot 0 & 7 - 3 (\frac{6}{5}) \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{6}{5} \\ 0 & - 1 & \frac{17}{5} \end{array}]$

Schritt 4.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 4.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{6}{5} \\ - 0 & - - 1 & - \frac{17}{5} \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{6}{5} \\ 0 & 1 & - \frac{17}{5} \end{array}]$

Schritt 5

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = \frac{6}{5}$

$y = - \frac{17}{5}$

Schritt 6

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(\frac{6}{5}, - \frac{17}{5})$

Schritt 7

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{6}{5} \\ - \frac{17}{5} \end{array}]$